次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x-a}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x}$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x-1}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x-a}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x}$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x-1}$

2. 解き方の手順

(1) について

これは $e^x$ の $x=a$ における微分係数の定義そのものです。

すなわち、

$f(x) = e^x$ とすると、$f'(x) = e^x$ なので、

$\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x-a} = f'(a) = e^a$

(2) について

$x=1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき、$h \to 0$ となります。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x} = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{-h} = - \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$ であることを用いると、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x} = -1$

(3) について

$x=1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき、$h \to 0$ となります。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x-1} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - \sqrt[3]{1+h}}{h}$

ここで、$(1+h)^{\alpha} \approx 1 + \alpha h$ (ただし、$h \to 0$)という近似式を用いると、

$\sqrt{1+h} = (1+h)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}h$

$\sqrt[3]{1+h} = (1+h)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}h$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2}h) - (1 + \frac{1}{3}h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}h - \frac{1}{3}h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{6}h}{h} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $e^a$

(2) $-1$

(3) $\frac{1}{6}$