$f$ を有界閉区間 $I = [a, b]$ ($a < b$) 上で $C^n$ 級であるとし、$n \ge 2$ とする。このとき、次の等式を示す問題です。 $f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \int_a^b f''(x)(b - x)dx$

1. 問題の内容

$f$ を有界閉区間 $I = [a, b]$ ($a < b$) 上で $C^n$ 級であるとし、$n \ge 2$ とする。このとき、次の等式を示す問題です。

$f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \int_a^b f''(x)(b - x)dx$

2. 解き方の手順

部分積分を用いて、右辺の積分を計算します。積分部分を $I$ とおくと、

$I = \int_a^b f''(x) (b - x) dx$

ここで、$u = b - x$, $dv = f''(x) dx$ とおくと、$du = -dx$, $v = f'(x)$ となります。部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$I = [f'(x)(b - x)]_a^b - \int_a^b f'(x)(-1) dx = [f'(x)(b - x)]_a^b + \int_a^b f'(x) dx$

$I = f'(b)(b - b) - f'(a)(b - a) + [f(x)]_a^b = 0 - f'(a)(b - a) + f(b) - f(a)$

$I = -f'(a)(b - a) + f(b) - f(a)$

したがって、与えられた式の右辺は、

$f(a) + f'(a)(b - a) + I = f(a) + f'(a)(b - a) - f'(a)(b - a) + f(b) - f(a) = f(b)$

となり、左辺と一致します。

3. 最終的な答え

$f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \int_a^b f''(x)(b - x)dx$