与えられた関数 $\frac{3}{x^2 - x - 2}$ の不定積分を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

ここでは、問題(3) $\int \frac{3}{x^2 - x - 2} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{3}{x^2 - x - 2}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。分母を因数分解すると、

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

となります。したがって、

$\frac{3}{x^2 - x - 2} = \frac{3}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

とおくことができます。両辺に $(x - 2)(x + 1)$ をかけると、

$3 = A(x + 1) + B(x - 2)$

となります。

$x = 2$ のとき、 $3 = 3A$ より $A = 1$。

$x = -1$ のとき、 $3 = -3B$ より $B = -1$。

したがって、

$\frac{3}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1}$

となります。

よって、

$\int \frac{3}{x^2 - x - 2} dx = \int \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1}\right) dx = \int \frac{1}{x - 2} dx - \int \frac{1}{x + 1} dx$

$= \ln|x - 2| - \ln|x + 1| + C = \ln\left|\frac{x - 2}{x + 1}\right| + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x - 2}{x + 1}\right| + C$