$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}}((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$ を求めよ。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}}((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和を使って計算できます。まず、総和をシグマ記号で表します。

$\sum_{k=1}^n (n+k)^9$

この式を次のように変形します。

$\sum_{k=1}^n (n+k)^9 = \sum_{k=1}^n n^9(1+\frac{k}{n})^9 = n^9 \sum_{k=1}^n (1+\frac{k}{n})^9$

したがって、求める極限は

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{10}} \sum_{k=1}^n (n+k)^9 = \lim_{n \to \infty} \frac{n^9}{n^{10}} \sum_{k=1}^n (1+\frac{k}{n})^9 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (1+\frac{k}{n})^9$

これは積分で表すことができます。

$\int_0^1 (1+x)^9 dx$

この積分を計算します。

$\int_0^1 (1+x)^9 dx = \left[ \frac{(1+x)^{10}}{10} \right]_0^1 = \frac{2^{10}}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1024-1}{10} = \frac{1023}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{1023}{10}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n^8(\frac{1}{(n+1)^9} + \frac{1}{(n+2)^9} + \dots + \frac{1}{(n+n)^9})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限もリーマン和を使って計算できます。まず、総和をシグマ記号で表します。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^9}$

この式を次のように変形します。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^9} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^9(1+\frac{k}{n})^9} = \frac{1}{n^9} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^9}$

したがって、求める極限は

$\lim_{n \to \infty} n^8 \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^9} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^8}{n^9} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^9} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^9}$

これは積分で表すことができます。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^9} dx$

この積分を計算します。

$\int_0^1 (1+x)^{-9} dx = \left[ \frac{(1+x)^{-8}}{-8} \right]_0^1 = -\frac{1}{8}(\frac{1}{2^8} - 1) = \frac{1}{8}(1-\frac{1}{256}) = \frac{1}{8}\frac{255}{256} = \frac{255}{2048}$

3. 最終的な答え

$\frac{255}{2048}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和を使って計算できます。まず、総和をシグマ記号で表します。

$\sum_{k=1}^n \sin \frac{k\pi}{n}$

したがって、求める極限は

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k\pi}{n}$

これは積分で表すことができます。

$\int_0^1 \sin (\pi x) dx$

この積分を計算します。

$\int_0^1 \sin (\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos (\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi}(-1-1) = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\pi}$