与えられた関数 $f(x)$ を、原点中心のテイラー展開を用いて5次の多項式で近似する。具体的には、以下の2つの関数に対して行う。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \sqrt{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を、原点中心のテイラー展開を用いて5次の多項式で近似する。具体的には、以下の2つの関数に対して行う。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \sqrt{1-x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合：

$e^x$ のテイラー展開を思い出す。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

この $x$ を $x^2$ で置き換える。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots$

5次の多項式近似なので、$x^5$ までの項を残す。ただし、この展開には奇数次の項は現れないため、$x^5$の項は0となる。

(2) $f(x) = \sqrt{1-x} = (1-x)^{1/2}$ の場合：

二項定理を使う。 $(1+x)^n$ のテイラー展開は

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}x^4 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}x^5 + \dots$

この式で、$n = \frac{1}{2}$ かつ $x$ を $-x$ で置き換える。

$(1-x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-x) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(-x)^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!}(-x)^3 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}-3)}{4!}(-x)^4 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}-3)(\frac{1}{2}-4)}{5!}(-x)^5 + \dots$

これを整理していく。

$= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2}x^2 + \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6}(-x)^3 + \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{24}(-x)^4 + \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-\frac{7}{2})}{120}(-x)^5 + \dots$

$= 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 - \frac{7}{256}x^5 + \dots$

5次の多項式近似なので、$x^5$ までの項を残す。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の5次多項式近似：

$1 + x^2 + \frac{x^4}{2}$

(2) $f(x) = \sqrt{1-x}$ の5次多項式近似：

$1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 - \frac{7}{256}x^5$