与えられた不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x^4}{x^2-1} dx$ (2) $\int \frac{x-1}{x(2x-1)} dx$ (3) $\int \frac{3}{x^2-x-2} dx$ (4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx$ (5) $\int \frac{1}{x^2+x-1} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x^4}{x^2-1} dx$

(2) $\int \frac{x-1}{x(2x-1)} dx$

(3) $\int \frac{3}{x^2-x-2} dx$

(4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx$

(5) $\int \frac{1}{x^2+x-1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^4}{x^2-1} dx$

分子の次数が分母の次数より大きいので、まず割り算を行います。

$x^4 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1$

よって、

$\frac{x^4}{x^2-1} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2-1} = x^2 + 1 + \frac{1}{(x-1)(x+1)}$

さらに、$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ と部分分数分解します。

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$

$\int \frac{x^4}{x^2-1} dx = \int (x^2 + 1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}) dx$

$= \frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$

$= \frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(2) $\int \frac{x-1}{x(2x-1)} dx$

$\frac{x-1}{x(2x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x-1}$ と部分分数分解します。

$x-1 = A(2x-1) + Bx$

$x = 0$ のとき $-1 = -A$ より $A = 1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}B$ より $B = -1$

$\int \frac{x-1}{x(2x-1)} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1}) dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|2x-1| + C$

(3) $\int \frac{3}{x^2-x-2} dx$

$\frac{3}{x^2-x-2} = \frac{3}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

$3 = A(x+1) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき $3 = 3A$ より $A = 1$

$x = -1$ のとき $3 = -3B$ より $B = -1$

$\int \frac{3}{x^2-x-2} dx = \int (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1}) dx$

$= \ln|x-2| - \ln|x+1| + C$

$= \ln|\frac{x-2}{x+1}| + C$

(4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx$

$u = x^2+x-1$ とすると $du = (2x+1)dx$

$\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|x^2+x-1| + C$

(5) $\int \frac{1}{x^2+x-1} dx$

$x^2 + x - 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$\int \frac{1}{x^2+x-1} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} dx$

$\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{A}{x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}} + \frac{B}{x+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$

$1 = A(x+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}) + B(x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})$

$x = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき $1 = A\sqrt{5}$ より $A = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$x = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき $1 = -B\sqrt{5}$ より $B = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\int \frac{1}{x^2+x-1} dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \int (\frac{1}{x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}} - \frac{1}{x+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}) dx$

$= \frac{1}{\sqrt{5}} [\ln|x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}| - \ln|x+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}|] + C$

$= \frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}{x+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}| + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(2) $\ln|x| - \frac{1}{2} \ln|2x-1| + C$

(3) $\ln|\frac{x-2}{x+1}| + C$

(4) $\ln|x^2+x-1| + C$

(5) $\frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}}| + C$