$\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{7\pi}{12}$を既知の角度の和または差で表します。

$\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

であるので、$\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})$を計算します。

$\cos$ の加法定理

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

を用いて計算します。

$\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{3}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

であるので、

$\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$