次の関数 $f(x, y)$ の点 $(0, 0)$ での $\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0)$ を求めます。 (1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

次の関数 $f(x, y)$ の点 $(0, 0)$ での $\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0)$ を求めます。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

方向微分係数の定義に従って計算します。

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t \cos \theta, 0 + t \sin \theta) - f(0, 0)}{t}$

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ の場合

$f(0, 0) = \cos 0 + \sin 0 = 1$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos \theta) + \sin(t \sin \theta) - 1}{t}$

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$、$\sin x$ のマクローリン展開は $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$ であるから

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t \cos \theta)^2}{2} + t \sin \theta - \frac{(t \sin \theta)^3}{6} - 1 + O(t^4)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \sin \theta + O(t^2)}{t} = \sin \theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合

$f(0, 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{\sqrt{t^2 \cos^2 \theta + t^2 \sin^2 \theta}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{t |t|} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos \theta |t \sin \theta|}{|t|} = |\sin \theta| \cos \theta$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合

$f(0, 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(t \cos \theta)(t \sin \theta) \sin \frac{1}{\sqrt{t^2 \cos^2 \theta + t^2 \sin^2 \theta}}}{t} = \lim_{t \to 0} t \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{|t|} = 0$

なぜなら、$\lim_{t \to 0} \sin \frac{1}{|t|}$ は振動して極限を持たないが、$\sin \frac{1}{|t|}$ は有界（-1 から 1 の間）であり、$\lim_{t \to 0} t = 0$ であるため、$t \sin \frac{1}{|t|} \to 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta$

(2) $|\sin \theta| \cos \theta$

(3) $0$