与えられた三角関数の式を、sinをcosに、またはcosをsinに変換することで、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、sinをcosに、またはcosをsinに変換することで、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x + \theta)$となる$\theta$を求める。

三角関数の公式$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$を利用する。

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{6}))$

$= \cos(\frac{\pi}{2} - x + \frac{\pi}{6})$

$= \cos(\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - x)$

$= \cos(\frac{4\pi}{6} - x)$

$= \cos(\frac{2\pi}{3} - x)$

$= \cos(-(x - \frac{2\pi}{3}))$

$= \cos(x - \frac{2\pi}{3})$

したがって、$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$ である。

(2) $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x + \phi)$となる$\phi$を求める。

三角関数の公式$\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$を利用する。

$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (2x + \frac{\pi}{6}))$

$= \sin(\frac{\pi}{2} - 2x - \frac{\pi}{6})$

$= \sin(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - 2x)$

$= \sin(\frac{2\pi}{6} - 2x)$

$= \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$

$= \sin(-(2x - \frac{\pi}{3}))$

$= - \sin(2x - \frac{\pi}{3})$

したがって、$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = - \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ である。

3. 最終的な答え

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$

$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = - \sin(2x - \frac{\pi}{3})$