複数の偏微分に関する問題が出題されています。具体的には、偏導関数、偏微分係数、2階偏導関数を求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

複数の偏微分に関する問題が出題されています。具体的には、偏導関数、偏微分係数、2階偏導関数を求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方を説明します。

(1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x$ と $z_y$ を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(y/x) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (y/x) = \cos(y/x) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(y/x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (y/x) = \cos(y/x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。

まず $z_x$ を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

次に $z_x(2,3)$ を計算する。

$z_x(2,3) = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f(x,y) = \cos(x^2 e^{xy})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x^2 e^{xy}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 e^{xy}) = -\sin(x^2 e^{xy}) \cdot (2x e^{xy} + x^2 y e^{xy}) = -\sin(x^2 e^{xy}) \cdot e^{xy}(2x + x^2 y)$

$f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\sin((\frac{\sqrt{\pi}}{6})^2 e^{\frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot 0}) \cdot e^{\frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot 0} (2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{6} + (\frac{\sqrt{\pi}}{6})^2 \cdot 0) = -\sin(\frac{\pi}{36}) \cdot (2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{6}) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ の偏微分係数 $f_x(0,0)$, $f_y(0,0)$ を求める。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0} - \sqrt{0+0}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$. この極限は存在しないので、$f_x(0,0)$ は存在しない。同様に、$f_y(0,0)$ も存在しない。

(5) $f(x,y) = \lim_{t \to 0} (3x^t + 2y^t)$ の偏微分係数 $f_x(1,1), f_y(1,1)$ を求める。ただし、$t \to 0$の極限で関数がどのように定義されているかが不明確である。問題文の意図が不明なので、この問題は解けない。

(6) $f(x,y) = \sin(x^2 y)$ の2階偏導関数を求める問題。

$f_x = \cos(x^2 y) \cdot 2xy$

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (2xy \cos(x^2 y)) = 2y \cos(x^2 y) + 2xy (-\sin(x^2 y)) \cdot 2xy = 2y \cos(x^2 y) - 4x^2 y^2 \sin(x^2 y)$

$f_y = \cos(x^2 y) \cdot x^2$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 \cos(x^2 y)) = x^2 (-\sin(x^2 y)) \cdot x^2 = -x^4 \sin(x^2 y)$

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy \cos(x^2 y)) = 2x \cos(x^2 y) + 2xy (-\sin(x^2 y)) \cdot x^2 = 2x \cos(x^2 y) - 2x^3 y \sin(x^2 y)$

(7) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

$z_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_{xx} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$z_y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

$z_{yy} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$, $z_y = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x(2,3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f_x(0,0)$, $f_y(0,0)$ は存在しない

(5) 解答不能

(6) $f_{xx} = 2y \cos(x^2 y) - 4x^2 y^2 \sin(x^2 y)$, $f_{yy} = -x^4 \sin(x^2 y)$, $f_{xy} = 2x \cos(x^2 y) - 2x^3 y \sin(x^2 y)$

(7) $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$