与えられた関数に対して、指定された偏導関数または偏微分係数を求める問題です。 (1) $z = \sin(y/x)$ の $z_x$ と $z_y$ を求める。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の $(2, 3)$ における $z_x$ を求める。 (3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\sin y})$ の $(\sqrt{\pi}/6, 0)$ における $f_x$ を求める。 (4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の $(0, 0)$ における $f_x$ と $f_y$ を求める。 (5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} ( |3x|^p + |2y|^p )^{1/p}$ の $(1, 1)$ における $f_x$ と $f_y$ を求める。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、指定された偏導関数または偏微分係数を求める問題です。

(1) $z = \sin(y/x)$ の $z_x$ と $z_y$ を求める。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の $(2, 3)$ における $z_x$ を求める。

(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\sin y})$ の $(\sqrt{\pi}/6, 0)$ における $f_x$ を求める。

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の $(0, 0)$ における $f_x$ と $f_y$ を求める。

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} ( |3x|^p + |2y|^p )^{1/p}$ の $(1, 1)$ における $f_x$ と $f_y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(y/x) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (y/x) = \cos(y/x) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(y/x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (y/x) = \cos(y/x) \cdot (1/x) = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_x(2, 3) = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\sin y})$ の偏微分係数を求める。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x^2 e^{\sin y}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 e^{\sin y}) = -\sin(x^2 e^{\sin y}) \cdot (2x e^{\sin y}) = -2x e^{\sin y} \sin(x^2 e^{\sin y})$

$f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -2 (\sqrt{\pi}/6) e^{\sin 0} \sin((\sqrt{\pi}/6)^2 e^{\sin 0}) = -2 (\sqrt{\pi}/6) \cdot 1 \cdot \sin(\pi/36 \cdot 1) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\pi/36)$

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数を求める。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^4}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^4) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^4}}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^4}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^4) = \frac{4y^3}{2\sqrt{x^2 + y^4}} = \frac{2y^3}{\sqrt{x^2 + y^4}}$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$. この極限は存在しない。

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{0 + k^4} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} ( |3x|^p + |2y|^p )^{1/p}$ の偏微分係数を求める。

$f(x, y)$ は $3|x|$ と $2|y|$ の大きい方である。

$f(x, y) = \max(3|x|, 2|y|)$

$f_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h, 1) - f(1, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max(3|1+h|, 2) - 3}{h}$

$h$ が小さいとき、$|1+h| = 1+h$ となり、$3|1+h| = 3+3h$ となる。

$3+3h > 2$ なので、$f(1+h, 1) = 3+3h$ となる。

よって、$f_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{3+3h - 3}{h} = 3$

$f_y(1, 1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1, 1+k) - f(1, 1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(3, 2|1+k|) - 3}{k}$

$k$ が小さいとき、$|1+k| = 1+k$ となり、$2|1+k| = 2+2k$ となる。

$-0.5 < k < 0.5$ の範囲で $3 > 2+2k$ である。

よって、$k \to 0$ のとき、$f(1, 1+k) = 3$

よって、$f_y(1, 1) = \lim_{k \to 0} \frac{3 - 3}{k} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$, $z_y = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x(2, 3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\pi/36)$

(4) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0) = 0$

(5) $f_x(1, 1) = 3$, $f_y(1, 1) = 0$