以下の問題に答えます。 1. $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x$ と $z_y$ を求める。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の問題に答えます。

1. $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x$ と $z_y$ を求める。

2. $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。

3. $f(x,y) = \cos(x^2 e^{\tan y})$ のとき、偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。

4. $f(x,y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。

5. $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(y/x)$ について

まず $z_x$ を求めます。

$z_x = \cos(y/x) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$

次に $z_y$ を求めます。

$z_y = \cos(y/x) \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ について

まず $z_x$ を求めます。

$z_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

次に $z_x(2,3)$ を求めます。

$z_x(2,3) = \frac{2(2)}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f(x,y) = \cos(x^2 e^{\tan y})$ について

まず $f_x$ を求めます。

$f_x = -\sin(x^2 e^{\tan y}) \cdot (2x e^{\tan y}) = -2x e^{\tan y} \sin(x^2 e^{\tan y})$

次に $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求めます。

$f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -2(\sqrt{\pi}/6) e^{\tan 0} \sin((\sqrt{\pi}/6)^2 e^{\tan 0}) = -2(\sqrt{\pi}/6) e^0 \sin((\pi/36)e^0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f(x,y) = \sin^{-1}(xy)$ について

まず $f_x$ を求めます。

$f_x = \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}}$

次に $f_y$ を求めます。

$f_y = \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}}$

次に $f_{xx}$ を求めます。

$f_{xx} = \frac{0 - y \cdot \frac{1}{2}(1-(xy)^2)^{-1/2} (-2xy^2)}{1 - (xy)^2} = \frac{y^3 x}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}$

次に $f_{yy}$ を求めます。

$f_{yy} = \frac{0 - x \cdot \frac{1}{2}(1-(xy)^2)^{-1/2} (-2x^2y)}{1 - (xy)^2} = \frac{x^3 y}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}$

(5) $z = \log(x^2 + y^2)$ について

(2)で、$z_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$　を求めたので、$z_{xx}$を求めます。

$z_{xx} = \frac{2(x^2+y^2) - 2x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2}$

同様に、$z_y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ なので、$z_{yy}$を求めます。

$z_{yy} = \frac{2(x^2+y^2) - 2y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2}$

したがって、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$, $z_y = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x(2,3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f_{xx} = \frac{y^3 x}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}$, $f_{yy} = \frac{x^3 y}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}$

(5) $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$