以下の極限を求める問題です。$a_1, a_2 \neq 0$とします。 $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2}\right)^{1/x}$$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。$a_1, a_2 \neq 0$とします。

$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2}\right)^{1/x}$$

2. 解き方の手順

$|a_1|$ と $|a_2|$ の大小関係で場合分けします。

(1) $|a_1| = |a_2| = a > 0$ の場合:

$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{a^x + a^x}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2a^x}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} (a^x)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} a = a = |a_1| = |a_2|$$

(2) $|a_1| \neq |a_2|$ の場合:

一般性を失わずに $|a_1| > |a_2| > 0$ と仮定します。このとき、

$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{|a_1|^x \left(1 + \left(\frac{|a_2|}{|a_1|}\right)^x\right)}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} |a_1| \left(\frac{1 + \left(\frac{|a_2|}{|a_1|}\right)^x}{2}\right)^{1/x}$$

ここで、$|a_2| / |a_1| < 1$ なので、$\lim_{x \to -\infty} (|a_2|/|a_1|)^x = \infty$ です。したがって、

$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1 + \left(\frac{|a_2|}{|a_1|}\right)^x}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{(\frac{|a_2|}{|a_1|})^x}{2}\right)^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_2|^x}{|a_1|^x \cdot 2})^{1/x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|a_2|}{|a_1|} \cdot \frac{1}{2^{1/x}} = \frac{|a_2|}{|a_1|} \cdot \frac{1}{1} = \frac{|a_2|}{|a_1|}$$

よって、

$$\lim_{x \to -\infty} |a_1| \left(\frac{1 + \left(\frac{|a_2|}{|a_1|}\right)^x}{2}\right)^{1/x} = |a_1| \cdot \frac{|a_2|}{|a_1|} = |a_2|$$

同様に、$|a_1| < |a_2|$ の場合は、$|a_1|$ となります。

結論として、$\max(|a_1|, |a_2|)$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$\max\{|a_1|, |a_2|\}$