次の極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ のテイラー展開を考えます。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ です。

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ を用います。

$\sin(\sin x)$ を展開します。

$\sin(\sin x) = \sin x - \frac{(\sin x)^3}{6} + O((\sin x)^5)$

$\sin(\sin x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - \frac{(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^3}{6} + O(x^5)$

$\sin(\sin x) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

したがって、

$\sin x - \sin(\sin x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - (x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\sin x - x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6} + O(x^2)}{-\frac{1}{6} + O(x^2)} = \frac{\frac{1}{6}}{-\frac{1}{6}} = -1$

3. 最終的な答え

-1