関数 $y = -\sin x + \cos x$ ($0 \le x < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sin x + \cos x$ ($0 \le x < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を合成します。

$y = -\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{3}{4}\pi)$

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$

$\sin(x + \frac{3}{4}\pi)$ の最大値は 1 で、そのときの $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$ より、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2}$ または $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{2}\pi$.

$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi = -\frac{\pi}{4}$.

これは $0 \le x < 2\pi$ を満たさないので不適。

$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{2}\pi$ のとき、$x = \frac{5}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{10}{4}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$.

このとき、$y = \sqrt{2} \sin(\frac{7}{4}\pi + \frac{3}{4}\pi) = \sqrt{2} \sin(\frac{10}{4}\pi) = \sqrt{2} \sin(\frac{5}{2}\pi) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

よって、最大値は $\sqrt{2}$ で、$x = \frac{7}{4}\pi$。

$\sin(x + \frac{3}{4}\pi)$ の最小値は -1 で、そのときの $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi + 2n\pi$ (nは整数)

$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$ より、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi$ または $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{7}{2}\pi - 2\pi = \frac{3}{2}\pi$, または $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi + 2\pi = \frac{7}{2}\pi$.

$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi$ のとき、$x = \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{6}{4}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{4}\pi$.

このとき、$y = \sqrt{2} \sin(\frac{3}{4}\pi + \frac{3}{4}\pi) = \sqrt{2} \sin(\frac{6}{4}\pi) = \sqrt{2} \sin(\frac{3}{2}\pi) = \sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$.

よって、最小値は $-\sqrt{2}$ で、$x = \frac{3}{4}\pi$。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{7}{4}\pi$のとき)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($x = \frac{3}{4}\pi$のとき)