関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ が閉区間 $[-1, 2]$ で与えられているとき、平均値の定理を満たす $c$ の値をすべて求める問題です。平均値の定理とは、$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ を満たす $c$ が区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在するというものです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ が閉区間 $[-1, 2]$ で与えられているとき、平均値の定理を満たす $c$ の値をすべて求める問題です。平均値の定理とは、$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ を満たす $c$ が区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在するというものです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ なので、

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$

次に、$f(2)$ と $f(-1)$ を計算します。

$f(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 - 5 = 8 - 8 + 2 - 5 = -3$

$f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 2 - 1 - 5 = -9$

平均値の定理より、

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = f'(c)$

$\frac{-3 - (-9)}{2 - (-1)} = 3c^2 - 4c + 1$

$\frac{6}{3} = 3c^2 - 4c + 1$

$2 = 3c^2 - 4c + 1$

$3c^2 - 4c - 1 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$c = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

したがって、$c$ の値は $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ と $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ です。

ここで、これらの値が区間 $(-1, 2)$ に含まれているかを確認します。

$\sqrt{7} \approx 2.646$ なので、

$\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 + 2.646}{3} \approx \frac{4.646}{3} \approx 1.549$

$\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 - 2.646}{3} \approx \frac{-0.646}{3} \approx -0.215$

どちらも区間 $(-1, 2)$ に含まれています。

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$