関数 $y = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。次に、対数微分法を用います。両辺の自然対数を取ると、

$$\ln y = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \frac{1}{2} \left( \ln(x^2-1) - \ln(x^2+1) \right)$$

両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x}{x^2-1} - \frac{2x}{x^2+1} \right) = x \left( \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right)$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \left( \frac{(x^2+1)-(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)} \right) = x \left( \frac{2}{x^4-1} \right) = \frac{2x}{x^4-1}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = y \frac{2x}{x^4-1} = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}} \cdot \frac{2x}{x^4-1}$$

$$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}} \cdot \frac{2x}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$