座標平面上の放物線 $y = px^2 + qx + r$ を C とし、直線 $y = 2x - 1$ を l とする。C は点 A(1, 1) において l と接している。 (1) q と r を p を用いて表す。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きから、q と r を求める。 (2) $v > 1$ とする。放物線 C と直線 l および直線 $x = v$ で囲まれた図形の面積 S, x 軸と l および 2 直線 $x = 1$, $x = v$ で囲まれた図形の面積 T を求める。$U = S - T$ は $v = 2$ で極値をとるとする。このとき、$p$ の値を求め、さらに $v > 1$ の範囲で $U = 0$ となる $v$ の値を求める。また、$1 < v < v_0$ の範囲で $U$ がどのような値をとるかを調べる。最後に、$U$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の放物線 $y = px^2 + qx + r$ を C とし、直線 $y = 2x - 1$ を l とする。C は点 A(1, 1) において l と接している。

(1) q と r を p を用いて表す。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きから、q と r を求める。

(2) $v > 1$ とする。放物線 C と直線 l および直線 $x = v$ で囲まれた図形の面積 S, x 軸と l および 2 直線 $x = 1$, $x = v$ で囲まれた図形の面積 T を求める。$U = S - T$ は $v = 2$ で極値をとるとする。このとき、$p$ の値を求め、さらに $v > 1$ の範囲で $U = 0$ となる $v$ の値を求める。また、$1 < v < v_0$ の範囲で $U$ がどのような値をとるかを調べる。最後に、$U$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 C を微分すると $y' = 2px + q$

点 A(1, 1) における接線の傾きは $2p + q$

直線 l の傾きは 2 であるから、$2p + q = 2$

したがって、$q = 2 - 2p$ (ア, イウ)

また、点 A(1, 1) は C 上にあるから、$1 = p + q + r$

$q = 2 - 2p$ を代入すると、$1 = p + (2 - 2p) + r$

$r = 1 - p - 2 + 2p = p - 1$ (エ, オ)

(2)

放物線 C は $y = px^2 + (2 - 2p)x + p - 1$ であり、直線 l は $y = 2x - 1$ である。

放物線 C と直線 l で囲まれた領域の面積を計算するため、まず積分区間を求める。

$px^2 + (2 - 2p)x + p - 1 = 2x - 1$

$px^2 + (2 - 2p)x + p - 1 - 2x + 1 = 0$

$px^2 - 2px + p = 0$

$p(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$ (重解)

したがって、積分区間は $1 \le x \le v$ である。

$S = \int_1^v \left|px^2 + (2 - 2p)x + p - 1 - (2x - 1)\right| dx$

$S = \int_1^v \left|px^2 - 2px + p\right| dx = \int_1^v p(x - 1)^2 dx$

$S = p \int_1^v (x - 1)^2 dx = p \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_1^v = p \frac{(v - 1)^3}{3}$ (カ, キ)

x 軸と直線 $y = 2x - 1$ および直線 $x = 1, x = v$ で囲まれた図形の面積 T は、

$T = \int_1^v (2x - 1) dx = \left[ x^2 - x \right]_1^v = v^2 - v - (1 - 1) = v^2 - v$ (ク, ケ, コ)

$U = S - T = \frac{p}{3}(v - 1)^3 - (v^2 - v)$

$U$ が $v = 2$ で極値を取るとき、$U'(2) = 0$ である。

$U' = \frac{p}{3} \cdot 3(v - 1)^2 - (2v - 1) = p(v - 1)^2 - (2v - 1)$

$U'(2) = p(2 - 1)^2 - (2 \cdot 2 - 1) = p - 3 = 0$

したがって、$p = 3$ (サ)

$U = \frac{3}{3}(v - 1)^3 - (v^2 - v) = (v - 1)^3 - (v^2 - v)$

$U = v^3 - 3v^2 + 3v - 1 - v^2 + v = v^3 - 4v^2 + 4v - 1$

$U = 0$ となる $v$ は、

$v^3 - 4v^2 + 4v - 1 = 0$

$(v - 1)(v^2 - 3v + 1) = 0$

$v = 1, v = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$v > 1$ より、$v = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ である。(シ, ス, セ)

$1 < v < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ の範囲で、$U < 0$ である。(ソ)

したがって、③ が答え。

$p = 3$ のとき、$U = v^3 - 4v^2 + 4v - 1 = (v - 1)(v^2 - 3v + 1)$

$U' = 3v^2 - 8v + 4 = (3v - 2)(v - 2)$

$v > 1$ より、$v = 2$ のとき極値を取る。

$U(2) = (2 - 1)(4 - 6 + 1) = -1$

よって、$U$ の最小値は $-1$ である。(タチ)

3. 最終的な答え

ア: 2

イウ: 2

エ: -1

オ: -1

カ: p/3

キ: (v-1)^3

ク: v^2

ケ: -v

コ: 0

サ: 3

シ: 3

ス: +√5

セ: 2

ソ: ③

タチ: -1