関数 $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分することを考えます。$y$ は $x$ の関数として表されているので、微分を実行できます。

$y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ なので、$y = (x + \sqrt{x^2 - 1})^{-1}$ と書き換えることができます。

合成関数の微分公式を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -1(x + \sqrt{x^2 - 1})^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 - 1})$

となります。ここで、$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 - 1})$ を計算します。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$ であり、$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

したがって、$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 - 1}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = -(x + \sqrt{x^2 - 1})^{-2} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{(x + \sqrt{x^2 - 1}) \sqrt{x^2 - 1}}$

ここで、$y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ なので、$x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{y}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\frac{1}{y} \sqrt{x^2 - 1}} = - \frac{y}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = x - \sqrt{x^2 - 1}$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} + 1$

別の解法として、まず関数を変形します。

$y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - (x^2 - 1)} = x - \sqrt{x^2 - 1}$

よって、$y = x - \sqrt{x^2 - 1}$

$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} (2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

または

$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$