$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 1$ を解け。 ただし、問題文には $2\sin{(\theta - \frac{\pi}{6})} = 1$ とも書かれているので、これを利用する。

## 問題32(1)

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 1$ を解け。

ただし、問題文には $2\sin{(\theta - \frac{\pi}{6})} = 1$ とも書かれているので、これを利用する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $2\sin{(x - \frac{\pi}{6})} = 1$ を解く。

$\sin{(x - \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$\sin{\theta} = \frac{1}{2}$ となる$\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ と $\frac{5\pi}{6}$ である。

したがって、

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{3}, \pi$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \pi$

## 問題32(2)

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin{x} \ge \sqrt{3}\cos{x}$ を解け。これは $\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} \ge 0$ とも書ける。

2. 解き方の手順

$\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} \ge 0$ を変形する。

$2(\frac{1}{2}\sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}) \ge 0$

$2(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{3}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{3}}) \ge 0$

$2\sin{(x - \frac{\pi}{3})} \ge 0$

$\sin{(x - \frac{\pi}{3})} \ge 0$

$0 \le x < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3}$

$\sin{\theta} \ge 0$ となる範囲は $0 \le \theta \le \pi$ である。

したがって、

$0 \le x - \frac{\pi}{3} \le \pi$

$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$

## 問題33

1. 問題の内容

関数 $y = -\sin{x} + \cos{x}$ ($0 \le x < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = -\sin{x} + \cos{x}$ を合成する。

$y = \sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x})$

$y = \sqrt{2}(\cos{\frac{3\pi}{4}}\sin{x} + \sin{\frac{3\pi}{4}}\cos{x})$

$y = \sqrt{2}\sin{(x + \frac{3\pi}{4})}$

$0 \le x < 2\pi$ より $\frac{3\pi}{4} \le x + \frac{3\pi}{4} < \frac{11\pi}{4}$

$\sin{\theta}$ の最大値は1、最小値は-1である。

最大値をとるとき、

$\sin{(x + \frac{3\pi}{4})} = 1$

$x + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$x = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ より $x = \frac{7\pi}{4}$

最大値は $y = \sqrt{2}$

最小値をとるとき、

$\sin{(x + \frac{3\pi}{4})} = -1$

$x + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

$x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ より $x = \frac{3\pi}{4}$

最小値は $y = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{7\pi}{4}$のとき)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($x = \frac{3\pi}{4}$のとき)