正の整数 $n$ に対し、$y = n - x^2$ で表されるグラフと $x$ 軸で囲まれる領域を考える。この領域の内部および周に含まれ、$x, y$ 座標がともに整数である点の個数を $a(n)$ とする。 (1) $a(5)$ を求めよ。 (2) $\sqrt{n}$ を超えない最大の整数を $k$ とする。$a(n)$ を $k$ と $n$ の多項式で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{\sqrt{n^3}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対し、$y = n - x^2$ で表されるグラフと $x$ 軸で囲まれる領域を考える。この領域の内部および周に含まれ、$x, y$ 座標がともに整数である点の個数を $a(n)$ とする。

(1) $a(5)$ を求めよ。

(2) $\sqrt{n}$ を超えない最大の整数を $k$ とする。$a(n)$ を $k$ と $n$ の多項式で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{\sqrt{n^3}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a(5)$ を求める。$y = 5 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれる領域を考える。$5 - x^2 \geq 0$ より、$x^2 \leq 5$ であるから、$-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$。$x$ は整数なので、$x$ は $-2, -1, 0, 1, 2$ のいずれかの値をとる。

$x = -2$ のとき、$y = 5 - (-2)^2 = 1$ であり、$0 \leq y \leq 1$ となる整数 $y$ は $0, 1$ の2つ。

$x = -1$ のとき、$y = 5 - (-1)^2 = 4$ であり、$0 \leq y \leq 4$ となる整数 $y$ は $0, 1, 2, 3, 4$ の5つ。

$x = 0$ のとき、$y = 5 - 0^2 = 5$ であり、$0 \leq y \leq 5$ となる整数 $y$ は $0, 1, 2, 3, 4, 5$ の6つ。

$x = 1$ のとき、$y = 5 - 1^2 = 4$ であり、$0 \leq y \leq 4$ となる整数 $y$ は $0, 1, 2, 3, 4$ の5つ。

$x = 2$ のとき、$y = 5 - 2^2 = 1$ であり、$0 \leq y \leq 1$ となる整数 $y$ は $0, 1$ の2つ。

したがって、$a(5) = 2 + 5 + 6 + 5 + 2 = 20$。

(2) $a(n)$ を $k$ と $n$ の多項式で表す。ここで、$k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ である。$n - x^2 \geq 0$ より、$x^2 \leq n$ であるから、$-\sqrt{n} \leq x \leq \sqrt{n}$。$x$ は整数なので、$x$ は $-k, -(k-1), \dots, -1, 0, 1, \dots, k-1, k$ のいずれかの値をとる。

$x = i$ ($i$ は整数) のとき、$y = n - i^2$ であり、$0 \leq y \leq n - i^2$ となる整数 $y$ は $n - i^2 + 1$ 個。

したがって、$a(n) = \sum_{i = -k}^{k} (n - i^2 + 1) = \sum_{i = -k}^{k} (n + 1) - \sum_{i = -k}^{k} i^2$。

$a(n) = (n + 1)(2k + 1) - 2 \sum_{i = 1}^{k} i^2 = (n + 1)(2k + 1) - 2 \cdot \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} = (n + 1)(2k + 1) - \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{3}$。

$a(n) = (2k + 1)(n + 1 - \frac{k(k + 1)}{3}) = (2k + 1)(n + 1 - \frac{k^2 + k}{3})$。

$a(n) = (2k + 1)(n + 1 - \frac{k(k+1)}{3})$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{\sqrt{n^3}}$ を求める。$k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ より、$k \leq \sqrt{n} < k + 1$ であるから、$k^2 \leq n < (k+1)^2$。よって、$n \to \infty$ のとき $k \to \infty$。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{\sqrt{n^3}} = \lim_{k \to \infty} \frac{(2k + 1)(n + 1 - \frac{k(k+1)}{3})}{n^{3/2}} = \lim_{k \to \infty} \frac{(2k + 1)(n + 1 - \frac{k^2 + k}{3})}{(\sqrt{n})^3}$。

ここで、$n \approx k^2$ なので、

$\lim_{k \to \infty} \frac{(2k + 1)(k^2 + 1 - \frac{k^2 + k}{3})}{(k^2)^{3/2}} = \lim_{k \to \infty} \frac{(2k + 1)(k^2 + 1 - \frac{1}{3}k^2 - \frac{1}{3}k)}{k^3} = \lim_{k \to \infty} \frac{(2k + 1)(\frac{2}{3}k^2 - \frac{1}{3}k + 1)}{k^3} = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{4}{3}k^3 - \frac{2}{3}k^2 + 2k + \frac{2}{3}k^2 - \frac{1}{3}k + 1}{k^3} = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{4}{3}k^3 + \frac{5}{3}k + 1}{k^3} = \frac{4}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 20

(2) $a(n) = (2k+1)(n+1 - \frac{k(k+1)}{3})$

(3) $\frac{4}{3}$