与えられた3つの問題を解きます。 * 問題1：関数 $y = \frac{x^4(x+2)^3}{(3x+1)^5}$ を対数微分法を用いて微分し、結果を1つの分数式で表す。 * 問題2：関数 $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 8}$ の2階導関数 $f''(x)$ を求める。 * 問題3：パラメータ表示された関数 $x(t) = 1 + \sinh(4t)$, $y(t) = t - \cosh(4t)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題を解きます。

* 問題1：関数 $y = \frac{x^4(x+2)^3}{(3x+1)^5}$ を対数微分法を用いて微分し、結果を1つの分数式で表す。

* 問題2：関数 $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 8}$ の2階導関数 $f''(x)$ を求める。

* 問題3：パラメータ表示された関数 $x(t) = 1 + \sinh(4t)$, $y(t) = t - \cosh(4t)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1

1. 両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left( \frac{x^4 (x+2)^3}{(3x+1)^5} \right) = 4 \ln x + 3 \ln (x+2) - 5 \ln (3x+1)$

2. 両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{4}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{5 \cdot 3}{3x+1} = \frac{4}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{15}{3x+1}$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{4}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{15}{3x+1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 (x+2)^3}{(3x+1)^5} \left( \frac{4}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{15}{3x+1} \right)$

4. 括弧内を整理して通分します。

$\frac{4}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{15}{3x+1} = \frac{4(x+2)(3x+1) + 3x(3x+1) - 15x(x+2)}{x(x+2)(3x+1)} = \frac{12x^2+26x+8 + 9x^2+3x - 15x^2 - 30x}{x(x+2)(3x+1)} = \frac{6x^2 - x + 8}{x(x+2)(3x+1)}$

5. $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^4 (x+2)^3}{(3x+1)^5} \cdot \frac{6x^2 - x + 8}{x(x+2)(3x+1)} = \frac{x^3 (x+2)^2 (6x^2 - x + 8)}{(3x+1)^6}$

* 問題2

1. $f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+8}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}$

2. $f'(x)$ をさらに微分します。

$f''(x) = \frac{\sqrt{x^2+8} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+8}} \cdot 2x}{x^2+8} = \frac{\sqrt{x^2+8} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+8}}}{x^2+8} = \frac{\frac{x^2+8-x^2}{\sqrt{x^2+8}}}{x^2+8} = \frac{8}{(x^2+8)\sqrt{x^2+8}} = \frac{8}{(x^2+8)^{3/2}}$

* 問題3

1. $\frac{dx}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (1 + \sinh(4t)) = 4 \cosh(4t)$

2. $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (t - \cosh(4t)) = 1 - 4 \sinh(4t)$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 - 4\sinh(4t)}{4\cosh(4t)}$

3. 最終的な答え

* 問題1： $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3 (x+2)^2 (6x^2 - x + 8)}{(3x+1)^6}$

* 問題2： $f''(x) = \frac{8}{(x^2+8)^{3/2}}$

* 問題3： $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 4\sinh(4t)}{4\cosh(4t)}$