関数 $f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ が与えられています。 (1) $f(x)$ が区間 $[-1, 1]$ で連続であることを示す。 (2) $f(x)$ の区間 $[-1, 1]$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ が与えられています。

(1) $f(x)$ が区間 $[-1, 1]$ で連続であることを示す。

(2) $f(x)$ の区間 $[-1, 1]$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連続性について

$\arcsin x$ は $[-1, 1]$ で連続であり、$|\arcsin x|$ も $[-1, 1]$ で連続です。また、$x$ と $\sqrt{1-x^2}$ も $[-1, 1]$ で連続なので、$2x\sqrt{1-x^2}$ も $[-1, 1]$ で連続です。したがって、$f(x) = |\arcsin x| - 2x\sqrt{1-x^2}$ は $[-1, 1]$ で連続です。

(2) 最大値と最小値について

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$x>0$ のとき、$\arcsin x > 0$ なので $|\arcsin x| = \arcsin x$ となり、$f(x) = \arcsin x - 2x\sqrt{1-x^2}$。

$x<0$ のとき、$\arcsin x < 0$ なので $|\arcsin x| = -\arcsin x$ となり、$f(x) = -\arcsin x - 2x\sqrt{1-x^2}$。

$x \in (0, 1]$ のとき、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} - 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} + \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$= \frac{1 - 2(1-x^2) + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{4x^2 - 1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $4x^2 - 1 = 0$、つまり $x = \pm \frac{1}{2}$ のときです。 $x \in (0, 1]$ なので、$x = \frac{1}{2}$ を考えます。

$f(\frac{1}{2}) = |\arcsin \frac{1}{2}| - 2(\frac{1}{2})\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{\pi}{6} - \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x \in [-1, 0)$ のとき、

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} - 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\sqrt{1-x^2} + \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$= \frac{-1 - 2(1-x^2) + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{4x^2 - 3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $4x^2 - 3 = 0$、つまり $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ のときです。 $x \in [-1, 0)$ なので、$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を考えます。

$f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = |\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})| - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = |\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})| + \sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(-1) = |\arcsin(-1)| - 2(-1)\sqrt{1 - (-1)^2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

$f(0) = |\arcsin(0)| - 2(0)\sqrt{1 - (0)^2} = 0$

$f(1) = |\arcsin(1)| - 2(1)\sqrt{1 - (1)^2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.523 - 0.866 = -0.343$

$f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.047 + 0.866 = 1.913$

$f(-1) = f(1) = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$

最大値: $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

最小値: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

最小値: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$