関数 $f(x) = x^{n-1}e^{\frac{1}{x}}$ のn次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。ただし、$n=1, 2, \dots$ です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{n-1}e^{\frac{1}{x}}$ のn次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。ただし、$n=1, 2, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を1回微分してみます。

$f'(x) = (n-1)x^{n-2}e^{\frac{1}{x}} + x^{n-1}e^{\frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2}) = (n-1)x^{n-2}e^{\frac{1}{x}} - x^{n-3}e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}} ( (n-1)x^{n-2} - x^{n-3} )$

もう一度微分してみます。

$f''(x) = e^{\frac{1}{x}}(-\frac{1}{x^2}) ((n-1)x^{n-2} - x^{n-3}) + e^{\frac{1}{x}} ((n-1)(n-2)x^{n-3} - (n-3)x^{n-4})$

$=e^{\frac{1}{x}} ( -\frac{1}{x^2}(n-1)x^{n-2} + \frac{1}{x^2}x^{n-3} + (n-1)(n-2)x^{n-3} - (n-3)x^{n-4})$

$=e^{\frac{1}{x}} (-(n-1)x^{n-4} + x^{n-5} + (n-1)(n-2)x^{n-3} - (n-3)x^{n-4})$

少し形が見えてくるので$n$階微分まで進めて推定してみましょう。

$f(x) = x^{n-1}e^{\frac{1}{x}}$ を$n$回微分すると、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+1}}$

より正確には、$f^{(n)}(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+1}} (-1)^n$ と推定されます。

$n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}(-1) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$. $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$のとき$f'(x)=e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.

$n=2$ のとき、$f''(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^3}$.

$f'(x) = (n-1)x^{n-2}e^{\frac{1}{x}} -x^{n-3}e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}}( (n-1)x^{n-2} -x^{n-3} )$.

すると

$f^{(n)}(x) = e^{1/x}\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+1}}$