与えられた3つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよという問題です。ただし、1)は $|x| < 1$、2)は $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$とします。 1) $f(x) = \log(1 + x^4)$ 2) $g(x) = \frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1 + 2x^2)^4}$ 3) $h(x) = x^2 e^{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよという問題です。ただし、1)は $|x| < 1$、2)は $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$とします。

1) $f(x) = \log(1 + x^4)$

2) $g(x) = \frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1 + 2x^2)^4}$

3) $h(x) = x^2 e^{x^2}$

2. 解き方の手順

1) $f(x) = \log(1 + x^4)$のマクローリン展開

$\log(1 + x)$ のマクローリン展開は

$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

これを利用して $x$ を $x^4$ に置き換えます。

$\log(1 + x^4) = x^4 - \frac{(x^4)^2}{2} + \frac{(x^4)^3}{3} - \frac{(x^4)^4}{4} + \cdots = x^4 - \frac{x^8}{2} + \frac{x^{12}}{3} - \frac{x^{16}}{4} + \cdots$

問題文より $|x| < 1$ なので、この展開は有効です。

2) $g(x) = \frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1 + 2x^2)^4}$のマクローリン展開

まず、定数を計算します。

$(-2)^3 \cdot 4! = -8 \cdot 24 = -192$

よって、

$g(x) = \frac{-192}{(1 + 2x^2)^4} = -192 (1 + 2x^2)^{-4}$

$(1+x)^n$ の二項展開は

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$

これを利用して $n = -4$、$x = 2x^2$ として展開します。

$(1 + 2x^2)^{-4} = 1 + (-4)(2x^2) + \frac{(-4)(-5)}{2!}(2x^2)^2 + \frac{(-4)(-5)(-6)}{3!}(2x^2)^3 + \cdots$

$= 1 - 8x^2 + \frac{20}{2}(4x^4) + \frac{-120}{6}(8x^6) + \cdots$

$= 1 - 8x^2 + 40x^4 - 160x^6 + \cdots$

したがって、

$g(x) = -192 (1 - 8x^2 + 40x^4 - 160x^6 + \cdots) = -192 + 1536x^2 - 7680x^4 + 30720x^6 + \cdots$

問題文より $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、 $|2x^2| < 1$ となり、この展開は有効です。

3) $h(x) = x^2 e^{x^2}$のマクローリン展開

$e^x$ のマクローリン展開は

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

これを利用して $x$ を $x^2$ に置き換えます。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^3}{3!} + \cdots = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \cdots$

したがって、

$h(x) = x^2 e^{x^2} = x^2 \left( 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \cdots \right) = x^2 + x^4 + \frac{x^6}{2} + \frac{x^8}{6} + \cdots$

3. 最終的な答え

1) $\log(1 + x^4) = x^4 - \frac{x^8}{2} + \frac{x^{12}}{3} - \frac{x^{16}}{4} + \cdots$

2) $\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1 + 2x^2)^4} = -192 + 1536x^2 - 7680x^4 + 30720x^6 + \cdots$

3) $x^2 e^{x^2} = x^2 + x^4 + \frac{x^6}{2} + \frac{x^8}{6} + \cdots$