与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。ただし、$n = 1, 2, \dots$ であり、数学的帰納法は使用しません。 問題には4つの関数が与えられています。 1) $x^2 \cdot 3^x$ 2) $x^{n-1}e^{1/x}$ 3) $\sqrt{1 + \cos 2x}$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) 4) $\frac{e^x}{2 + 3x}$ ここでは、関数 $\sqrt{1 + \cos 2x}$ の $n$ 次導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。ただし、$n = 1, 2, \dots$ であり、数学的帰納法は使用しません。

問題には4つの関数が与えられています。

1) $x^2 \cdot 3^x$

2) $x^{n-1}e^{1/x}$

3) $\sqrt{1 + \cos 2x}$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$)

4) $\frac{e^x}{2 + 3x}$

ここでは、関数 $\sqrt{1 + \cos 2x}$ の $n$ 次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を簡単にします。

$\sqrt{1 + \cos 2x}$ を考えます。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$1 + \cos 2x = 1 + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x$ となります。

したがって、

$\sqrt{1 + \cos 2x} = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$ となります。

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\cos x > 0$ なので、

$\sqrt{1 + \cos 2x} = \sqrt{2} \cos x$ となります。

$f(x) = \sqrt{2} \cos x$

次に、$n$ 次導関数を求めます。

$f'(x) = -\sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \cos (x + \pi)$

$f'''(x) = \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \cos (x + \frac{3\pi}{2})$

$f^{(4)}(x) = \sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \cos (x + 2\pi)$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = \sqrt{2} \cos (x + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \sqrt{2} \cos (x + \frac{n\pi}{2})$