問題は、関数 $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ が $2x$ であるとき、$g(x) = x^2 + C$ ($C$は定数) となることを平均値の定理を用いて示すことです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ が $2x$ であるとき、$g(x) = x^2 + C$ ($C$は定数) となることを平均値の定理を用いて示すことです。

2. 解き方の手順

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能ならば、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、というものです。

与えられた条件は、$g'(x) = 2x$ です。

$g(x) = x^2 + C$ が成り立つことを示すために、別の関数 $f(x) = g(x) - x^2$ を考えます。

この関数の導関数 $f'(x)$ を求めると、

$$f'(x) = g'(x) - 2x$$

となります。$g'(x) = 2x$ を代入すると、

$$f'(x) = 2x - 2x = 0$$

となります。

ここで、関数 $f(x)$ に対して平均値の定理を適用します。任意の $a, b$ ($a < b$) に対して、区間 $[a, b]$ で $f(x)$ は連続かつ微分可能です。したがって、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ に存在します。しかし、$f'(x) = 0$ なので、$f'(c) = 0$ です。

よって、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$$

$b - a \neq 0$ なので、$f(b) - f(a) = 0$ となり、$f(b) = f(a)$ が成り立ちます。

これは、$f(x)$ が定数関数であることを意味します。

したがって、$f(x) = C$ ($C$は定数) と書けます。

$f(x) = g(x) - x^2$ であったので、$g(x) - x^2 = C$ となります。

これを $g(x)$ について解くと、

$$g(x) = x^2 + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$g(x) = x^2 + C$