不等式 $|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$ を示す問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理を利用します。

関数 $f(x) = \sin x$ を考えます。

$a$ と $b$ の間に実数 $c$ が存在して、

$$\frac{\sin a - \sin b}{a - b} = \cos c$$

が成り立ちます。

両辺の絶対値をとると、

$$\left| \frac{\sin a - \sin b}{a - b} \right| = |\cos c|$$

ここで、 $|\cos c| \leq 1$ であるから、

$$\left| \frac{\sin a - \sin b}{a - b} \right| \leq 1$$

両辺に $|a - b|$ を掛けると、

$$|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$$

が得られます。

3. 最終的な答え

$|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$ が示されました。