曲線 $C: y = x^3 + 3x^2 + x$ 上の点 $A(1, a)$ を通る接線が3本引けるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 3x^2 + x$ 上の点 $A(1, a)$ を通る接線が3本引けるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $A(1, a)$ が曲線 $C$ 上にあることから、$a$ の値を求める。$y = x^3 + 3x^2 + x$ に $x=1$ を代入すると、

$y = 1^3 + 3(1)^2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$

よって、$A(1, 5)$ である。

次に、曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 + 3t^2 + t)$ における接線を考える。

$y' = 3x^2 + 6x + 1$ なので、点 $(t, t^3 + 3t^2 + t)$ における接線の方程式は、

$y - (t^3 + 3t^2 + t) = (3t^2 + 6t + 1)(x - t)$

この接線が点 $A(1, 5)$ を通るので、

$5 - (t^3 + 3t^2 + t) = (3t^2 + 6t + 1)(1 - t)$

$5 - t^3 - 3t^2 - t = 3t^2 + 6t + 1 - 3t^3 - 6t^2 - t$

$5 - t^3 - 3t^2 - t = -3t^3 - 3t^2 + 5t + 1$

$2t^3 - 6t + 4 = 0$

$t^3 - 3t + 2 = 0$

$(t - 1)(t^2 + t - 2) = 0$

$(t - 1)(t - 1)(t + 2) = 0$

$(t - 1)^2(t + 2) = 0$

$t = 1, -2$

ここで、$t = 1$ は重解なので、点 $(1, 5)$ における接線は $y = 10x - 5$ となり、曲線 $C$ と点 $(1, 5)$ で接する。

$A(1, a)$ を通る接線が3本引けるためには、接点 $t$ に関する3次方程式 $t^3 - 3t + 2 = 0$ が異なる3つの実数解を持つ必要がある。

しかし、今回は $t = 1$ が重解であるため、異なる3本の接線は引けない。そこで、点 $A$ が曲線 $C$ 上にない場合を考える。

接線の方程式を考えると、

$a - (t^3 + 3t^2 + t) = (3t^2 + 6t + 1)(1 - t)$

$a = -2t^3 - 3t^2 + 5t + 1 + 5$

$2t^3 - 6t + a -5 - 1 = 0$

$2t^3 - 6t + (a-4) = 0$

$f(t) = t^3 - 3t + \frac{a-4}{2}$ とおく。

$f'(t) = 3t^2 - 3 = 3(t^2 - 1)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = \pm 1$

$f(-1) = -1 + 3 + \frac{a-4}{2} = 2 + \frac{a-4}{2} = \frac{a}{2}$

$f(1) = 1 - 3 + \frac{a-4}{2} = -2 + \frac{a-4}{2} = \frac{a-8}{2}$

$f(t) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(-1) f(1) < 0$ でなければならない。

$(\frac{a}{2})(\frac{a-8}{2}) < 0$

$a(a - 8) < 0$

$0 < a < 8$

3. 最終的な答え

$0 < a < 8$