問題は2つあります。 (1) 曲線 $y = x^3 (x - 4)$ のグラフと異なる2点で接する直線の式を求めよ。 (2) 3次方程式 $x^3 - 3ax + 49 = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 曲線 $y = x^3 (x - 4)$ のグラフと異なる2点で接する直線の式を求めよ。

(2) 3次方程式 $x^3 - 3ax + 49 = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3 (x - 4)$ と直線 $y = mx + n$ が $x = \alpha, \beta$ で接するとする。このとき、

$x^3 (x - 4) - (mx + n) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$

となる。左辺を展開すると $x^4 - 4x^3 - mx - n$ である。

右辺は4次式なので、これはありえない。

曲線 $y = x^3 (x - 4)$ と直線 $y = mx + n$ が $x = \alpha$ で接し、$x = 0$ で接するとする。

$x^3 (x - 4) - (mx + n) = x^2 (x - \alpha)^2$

$x^4 - 4x^3 - mx - n = x^2(x^2 - 2\alpha x + \alpha^2)$

$x^4 - 4x^3 - mx - n = x^4 - 2\alpha x^3 + \alpha^2 x^2$

係数比較して、$-4 = -2\alpha$, $\alpha^2 = 0$, $-m = 0$, $-n = 0$

$\alpha = 2$, $\alpha = 0$ なので矛盾。

曲線 $y = f(x)$ に直線 $y = mx + n$ が $x = \alpha$ で接する場合、$f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2 Q(x)$ となる。ここで $Q(x)$ は多項式。

$f'(x) = m$ でもある。

$f(x) = x^3 (x - 4) = x^4 - 4x^3$

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の方程式は $y = f'(t) (x - t) + f(t)$

$y = (4t^3 - 12t^2) (x - t) + t^4 - 4t^3$

$y = (4t^3 - 12t^2) x - 4t^4 + 12t^3 + t^4 - 4t^3$

$y = (4t^3 - 12t^2) x - 3t^4 + 8t^3$

2点で接するということは、$f(x) - (ax + b) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$

$f(x) - (ax + b) = x^4 - 4x^3 - ax - b$

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 0$ となる $x$ は $x = 0, 3$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = 3$ のとき、$y = 3^4 - 4 \times 3^3 = 81 - 108 = -27$

$(0, 0)$ における接線は $y = 0$

$(3, -27)$ における接線は $y = 0 (x - 3) - 27 = -27$

$y = 0$ と $y = x^4 - 4x^3$ は $x = 0$ で接する

$y = -27$ と $y = x^4 - 4x^3$ は $x = 3$ で接する

接線を $y = 0$ とすると $x^4 - 4x^3 = 0$ より $x^3 (x - 4) = 0$, $x = 0, 4$

接線を $y = -27$ とすると $x^4 - 4x^3 + 27 = 0$ より $(x - 3)^2 (x^2 + 2x + 3) = 0$, $x = 3$

よって、$y = 0$ が2点で接する直線である。

(2) $f(x) = x^3 - 3ax + 49$

$f'(x) = 3x^2 - 3a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm \sqrt{a}$

$x = \sqrt{a}$ で極大、$x = - \sqrt{a}$ で極小

$f(x)$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(\sqrt{a}) \times f(-\sqrt{a}) < 0$

$f(\sqrt{a}) = (\sqrt{a})^3 - 3a \sqrt{a} + 49 = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + 49 = -2a\sqrt{a} + 49$

$f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^3 - 3a (-\sqrt{a}) + 49 = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} + 49 = 2a\sqrt{a} + 49$

$(-2a\sqrt{a} + 49)(2a\sqrt{a} + 49) < 0$

$49^2 - 4 a^3 < 0$

$4a^3 > 49^2$

$a^3 > \frac{49^2}{4} = \frac{2401}{4}$

$a > \sqrt[3]{\frac{2401}{4}} \approx 8.43$

$a > 0$ である必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $y=0$

(2) $a > \sqrt[3]{\frac{2401}{4}}$