2変数関数 $f(x_1, x_2) = \frac{x_1^2 x_2}{x_1^4 + 3x_2^2}$ について、以下の問いに答える。 (1) 直線 $x_1 = 0$ および $x_2 = 0$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。 (2) $m$ を $0$ でない任意の実数として、直線 $x_2 = mx_1$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。 (3) $a$ を $0$ でない任意の実数として、放物線 $x_2 = ax_1^2$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。 (4) 極限 $\lim_{(x_1, x_2) \to (0, 0)} f(x_1, x_2)$ が存在するかどうかを判定する。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x_1, x_2) = \frac{x_1^2 x_2}{x_1^4 + 3x_2^2}$ について、以下の問いに答える。

(1) 直線 $x_1 = 0$ および $x_2 = 0$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。

(2) $m$ を $0$ でない任意の実数として、直線 $x_2 = mx_1$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。

(3) $a$ を $0$ でない任意の実数として、放物線 $x_2 = ax_1^2$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするときの、$f(x_1, x_2)$ の極限を求める。

(4) 極限 $\lim_{(x_1, x_2) \to (0, 0)} f(x_1, x_2)$ が存在するかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

(1)

* 直線 $x_1 = 0$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするとき:

$f(0, x_2) = \frac{0^2 \cdot x_2}{0^4 + 3x_2^2} = \frac{0}{3x_2^2} = 0$. したがって、$\lim_{x_2 \to 0} f(0, x_2) = 0$.

* 直線 $x_2 = 0$ に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするとき:

$f(x_1, 0) = \frac{x_1^2 \cdot 0}{x_1^4 + 3 \cdot 0^2} = \frac{0}{x_1^4} = 0$. したがって、$\lim_{x_1 \to 0} f(x_1, 0) = 0$.

(2) 直線 $x_2 = mx_1$ ($m \neq 0$) に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするとき:

$f(x_1, mx_1) = \frac{x_1^2 \cdot mx_1}{x_1^4 + 3(mx_1)^2} = \frac{mx_1^3}{x_1^4 + 3m^2 x_1^2} = \frac{mx_1}{x_1^2 + 3m^2}$.

したがって、

$\lim_{x_1 \to 0} f(x_1, mx_1) = \lim_{x_1 \to 0} \frac{mx_1}{x_1^2 + 3m^2} = \frac{m \cdot 0}{0^2 + 3m^2} = \frac{0}{3m^2} = 0$.

(3) 放物線 $x_2 = ax_1^2$ ($a \neq 0$) に沿って $(x_1, x_2) \to (0, 0)$ とするとき:

$f(x_1, ax_1^2) = \frac{x_1^2 \cdot ax_1^2}{x_1^4 + 3(ax_1^2)^2} = \frac{ax_1^4}{x_1^4 + 3a^2 x_1^4} = \frac{ax_1^4}{(1 + 3a^2)x_1^4} = \frac{a}{1 + 3a^2}$.

したがって、$\lim_{x_1 \to 0} f(x_1, ax_1^2) = \lim_{x_1 \to 0} \frac{a}{1 + 3a^2} = \frac{a}{1 + 3a^2}$.

(4)

(1), (2) より、直線に沿って原点に近づけたときの極限は $0$ である。

(3) より、放物線 $x_2 = ax_1^2$ に沿って原点に近づけたときの極限は $\frac{a}{1 + 3a^2}$ である。

$a$ の値によって極限値が異なるので、$\lim_{(x_1, x_2) \to (0, 0)} f(x_1, x_2)$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) $\frac{a}{1 + 3a^2}$

(4) 存在しない