与えられた4つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \cos 2x \, dx$ (2) $\int x \sin x \, dx$ (3) $\int (3x-1) \cos 4x \, dx$ (4) $\int (2-5x) \sin 3x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \cos 2x \, dx$

(2) $\int x \sin x \, dx$

(3) $\int (3x-1) \cos 4x \, dx$

(4) $\int (2-5x) \sin 3x \, dx$

2. 解き方の手順

これらの積分はすべて部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

(1) $\int x \cos 2x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ です。

よって、

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(2) $\int x \sin x \, dx$

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ です。

よって、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(3) $\int (3x-1) \cos 4x \, dx$

$u = 3x-1$, $dv = \cos 4x \, dx$ とすると、$du = 3 \, dx$, $v = \frac{1}{4} \sin 4x$ です。

よって、

$\int (3x-1) \cos 4x \, dx = \frac{1}{4}(3x-1) \sin 4x - \int \frac{3}{4} \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} (3x-1) \sin 4x + \frac{3}{16} \cos 4x + C$

(4) $\int (2-5x) \sin 3x \, dx$

$u = 2-5x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = -5 \, dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ です。

よって、

$\int (2-5x) \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3}(2-5x) \cos 3x - \int \frac{5}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3}(2-5x) \cos 3x - \frac{5}{9} \sin 3x + C$

$= \frac{5x-2}{3} \cos 3x - \frac{5}{9} \sin 3x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(2) $-x \cos x + \sin x + C$

(3) $\frac{1}{4} (3x-1) \sin 4x + \frac{3}{16} \cos 4x + C$

(4) $\frac{5x-2}{3} \cos 3x - \frac{5}{9} \sin 3x + C$