与えられた4つの不定積分を求めます。ただし、$a \neq 1$ かつ $a > 0$とします。 (1) $\int xe^{3x} dx$ (2) $\int xa^x dx$ (3) $\int x^2 \log x dx$ (4) $\int \log_5 x dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を求めます。ただし、$a \neq 1$ かつ $a > 0$とします。

(1) $\int xe^{3x} dx$

(2) $\int xa^x dx$

(3) $\int x^2 \log x dx$

(4) $\int \log_5 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^{3x} dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$となります。

したがって、

$\int xe^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

(2) $\int xa^x dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = a^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{a^x}{\log a}$となります。

したがって、

$\int xa^x dx = \frac{xa^x}{\log a} - \int \frac{a^x}{\log a} dx = \frac{xa^x}{\log a} - \frac{a^x}{(\log a)^2} + C$

(3) $\int x^2 \log x dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$となります。

したがって、

$\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

(4) $\int \log_5 x dx$

底の変換公式を用いて、$\log_5 x = \frac{\log x}{\log 5}$ とします。

したがって、$\int \log_5 x dx = \frac{1}{\log 5} \int \log x dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$となります。

したがって、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

よって、$\int \log_5 x dx = \frac{1}{\log 5} (x \log x - x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

(2) $\int xa^x dx = \frac{xa^x}{\log a} - \frac{a^x}{(\log a)^2} + C$

(3) $\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

(4) $\int \log_5 x dx = \frac{x \log x - x}{\log 5} + C$