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次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

解析学級数等比数列無限級数
2025/6/12

1. 問題の内容

次の和 SS を求めます。
S=1+23+332+433+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}

2. 解き方の手順

まず、SS を書き下します。
S=1+23+332+433+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}
次に、SS を 13\frac{1}{3} 倍したものを書き下します。
13S=13+232+333+⋯+n−13n−1+n3n\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}
SS から 13S\frac{1}{3}S を引きます。
S−13S=1+13+132+133+⋯+13n−1−n3nS - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}
23S=1+13+132+133+⋯+13n−1−n3n\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}
1+13+132+133+⋯+13n−11 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} は初項1、公比13\frac{1}{3}の等比数列の和なので、
1+13+132+133+⋯+13n−1=1(1−13n)1−13=1−13n23=32(1−13n)1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1(1-\frac{1}{3^n})}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})
よって、
23S=32(1−13n)−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}
23S=32−3213n−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^n}
23S=32−32⋅3n−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}
23S=32−3+2n2⋅3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}
S=32⋅(32−3+2n2⋅3n)S = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n})
S=94−3(3+2n)4⋅3nS = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n}
S=94−3+2n4⋅3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^{n-1}}
S=9⋅3n−1−(3+2n)4⋅3n−1S = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - (3+2n)}{4 \cdot 3^{n-1}}

3. 最終的な答え

S=94−2n+34⋅3n−1=9⋅3n−1−2n−34⋅3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4 \cdot 3^{n-1}} = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}

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