問題は3つの式で構成されています。 1) $\log(1+x^4)$ 2) $\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1+2x^2)^4}$ 3) $x^2 e^{x^2}$ ただし、$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ という条件があります。

1. 問題の内容

問題は3つの式で構成されています。

1) $\log(1+x^4)$

2) $\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1+2x^2)^4}$

3) $x^2 e^{x^2}$

ただし、$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ という条件があります。

2. 解き方の手順

これらの式について、特に何かを求める指示はありません。

これらの式を整理、もしくは評価することを目標とします。

1) $\log(1+x^4)$

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$x^2 < \frac{1}{2}$ なので、$x^4 < \frac{1}{4}$.

したがって、$1+x^4 > 1$ なので、$\log(1+x^4)$ は定義できます。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ なので、

$\log(1+x^4) = x^4 - \frac{x^8}{2} + \frac{x^{12}}{3} - \cdots$ と展開できます。

2) $\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1+2x^2)^4}$

$(-2)^3 = -8$ であり、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ なので、

$(-2)^3 \cdot 4! = -8 \times 24 = -192$.

したがって、$\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1+2x^2)^4} = \frac{-192}{(1+2x^2)^4}$.

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$x^2 < \frac{1}{2}$ なので、$2x^2 < 1$.

したがって、$1+2x^2 < 2$.

$(1+2x^2)^4$ を二項定理で展開すると、

$(1+2x^2)^4 = 1 + 4(2x^2) + 6(2x^2)^2 + 4(2x^2)^3 + (2x^2)^4 = 1 + 8x^2 + 24x^4 + 32x^6 + 16x^8$.

よって、$\frac{-192}{1 + 8x^2 + 24x^4 + 32x^6 + 16x^8}$.

3) $x^2 e^{x^2}$

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$x^2 < \frac{1}{2}$.

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ なので、

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots$.

したがって、$x^2 e^{x^2} = x^2 + x^4 + \frac{x^6}{2!} + \frac{x^8}{3!} + \cdots$.

3. 最終的な答え

1) $\log(1+x^4) = x^4 - \frac{x^8}{2} + \frac{x^{12}}{3} - \cdots$

2) $\frac{(-2)^3 \cdot 4!}{(1+2x^2)^4} = \frac{-192}{(1+2x^2)^4} = \frac{-192}{1 + 8x^2 + 24x^4 + 32x^6 + 16x^8}$

3) $x^2 e^{x^2} = x^2 + x^4 + \frac{x^6}{2!} + \frac{x^8}{3!} + \cdots$