関数 $f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ が与えられています。 (1) 以下の等式が成り立つことを示す問題です。 (i) $\sqrt{1-x^2}f^{(1)}(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$ (ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$ (2) $f^{(n)}(0)$ を求める問題です（数学的帰納法は省略してよい）。 (3) (2)の結果を用いて、$f(x)$ のマクローリン展開を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ が与えられています。

(1) 以下の等式が成り立つことを示す問題です。

(i) $\sqrt{1-x^2}f^{(1)}(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$

(ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$

(2) $f^{(n)}(0)$ を求める問題です（数学的帰納法は省略してよい）。

(3) (2)の結果を用いて、$f(x)$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) (i) の証明：

$y = \cos^{-1}x$ と置くと、$x = \cos y$ となります。

$f(x) = \cos(7y)$ なので、$f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{df}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{df}{dy} = -7\sin(7y)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$f'(x) = -7\sin(7y) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{7\sin(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{1-x^2}f'(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$

よって、(i) は成り立ちます。

(1) (ii) の証明：

まず、$f'(x) = \frac{7\sin(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}$ より $\sqrt{1-x^2}f'(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$ の両辺を微分します。

$\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}f'(x)) = \frac{d}{dx}(7\sin(7\cos^{-1}x))$

左辺は積の微分公式より、

$\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}f'(x) + \sqrt{1-x^2}f''(x)$

右辺は、

$7\cos(7\cos^{-1}x)\cdot 7 \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-49\cos(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-49f(x)}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}f'(x) + \sqrt{1-x^2}f''(x) = \frac{-49f(x)}{\sqrt{1-x^2}}$

両辺に $\sqrt{1-x^2}$ を掛けて、

$-xf'(x) + (1-x^2)f''(x) = -49f(x)$

$(1-x^2)f''(x) - xf'(x) + 49f(x) = 0$

この式をライプニッツの公式を使って $n$ 回微分します。

ライプニッツの公式は、$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$ です。

$(1-x^2)f''(x)$ を $n$ 回微分すると、

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) + n(-2x)f^{(n+1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2}(-2)f^{(n)}(x) = (1-x^2)f^{(n+2)}(x) - 2nx f^{(n+1)}(x) - n(n-1)f^{(n)}(x)$

$-xf'(x)$ を $n$ 回微分すると、

$-x f^{(n+1)}(x) - n f^{(n)}(x)$

$49f(x)$ を $n$ 回微分すると、$49f^{(n)}(x)$

これらを足し合わせると、

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - 2nx f^{(n+1)}(x) - n(n-1)f^{(n)}(x) - x f^{(n+1)}(x) - n f^{(n)}(x) + 49 f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) + (-n^2+n-n+49) f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - (n^2-49) f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2) f^{(n)}(x) = 0$

よって、(ii) は成り立ちます。

(2) $f^{(n)}(0)$ を求める：

$f(x) = \cos(7\cos^{-1}x)$ より、 $f(0) = \cos(7\cdot\frac{\pi}{2}) = 0$

$f'(x) = \frac{7\sin(7\cos^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}$ より、$f'(0) = 7\sin(7\cdot\frac{\pi}{2}) = 7(-1) = -7$

(ii) より $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2) f^{(n)}(x) = 0$ に $x=0$ を代入すると、

$f^{(n+2)}(0) = (n^2-7^2)f^{(n)}(0)$

$n=0$ のとき、$f''(0) = (0^2-7^2)f(0) = -49\cdot 0 = 0$

$n=1$ のとき、$f'''(0) = (1^2-7^2)f'(0) = (-48)(-7) = 336$

$n=2$ のとき、$f^{(4)}(0) = (2^2-7^2)f''(0) = -45 \cdot 0 = 0$

$n=3$ のとき、$f^{(5)}(0) = (3^2-7^2)f'''(0) = (-40)(336) = -13440$

一般に、$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$ と推測できます。

$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0) \ne 0$

(3) $f(x)$ のマクローリン展開：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + ...$

$= 0 - 7x + 0 + \frac{336}{6}x^3 + 0 + \frac{-13440}{120}x^5 + ... = -7x + 56x^3 - 112x^5 + ...$

3. 最終的な答え

(1) (i) $\sqrt{1-x^2}f'(x) = 7\sin(7\cos^{-1}x)$ （証明済み）

(ii) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2-7^2)f^{(n)}(x) = 0$ （証明済み）

(2) $f^{(n)}(0) = 0$ (nが偶数のとき)

$f'(0) = -7, f'''(0) = 336, f^{(5)}(0) = -13440, ...$ (nが奇数のとき)

(3) $f(x) = -7x + 56x^3 - 112x^5 + ...$