数列 $\left\{ \left( \frac{x}{1+2x} \right)^n \right\}$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求め、その極限値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\left\{ \left( \frac{x}{1+2x} \right)^n \right\}$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求め、その極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\left\{ a^n \right\}$ が収束するための条件は、$-1 < a \leq 1$ である。この条件を満たすように、$\frac{x}{1+2x}$ の範囲を定める。

まず、$\frac{x}{1+2x} > -1$ を解く。

$\frac{x}{1+2x} + 1 > 0$

$\frac{x + 1 + 2x}{1+2x} > 0$

$\frac{3x+1}{1+2x} > 0$

したがって、$3x+1 > 0$ かつ $1+2x > 0$、または、$3x+1 < 0$ かつ $1+2x < 0$。

前者の場合、$x > -\frac{1}{3}$ かつ $x > -\frac{1}{2}$ より、$x > -\frac{1}{3}$。

後者の場合、$x < -\frac{1}{3}$ かつ $x < -\frac{1}{2}$ より、$x < -\frac{1}{2}$。

よって、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > -\frac{1}{3}$。

次に、$\frac{x}{1+2x} \leq 1$ を解く。

$\frac{x}{1+2x} - 1 \leq 0$

$\frac{x - 1 - 2x}{1+2x} \leq 0$

$\frac{-x-1}{1+2x} \leq 0$

$\frac{x+1}{1+2x} \geq 0$

したがって、$x+1 \geq 0$ かつ $1+2x > 0$、または、$x+1 \leq 0$ かつ $1+2x < 0$。

前者の場合、$x \geq -1$ かつ $x > -\frac{1}{2}$ より、$x > -\frac{1}{2}$。

後者の場合、$x \leq -1$ かつ $x < -\frac{1}{2}$ より、$x \leq -1$。

よって、$x \leq -1$ または $x > -\frac{1}{2}$。

これらの条件を合わせると、$x \leq -1$ または $x > -\frac{1}{3}$ である。

また、$\frac{x}{1+2x} = 1$ のとき、$x = 1+2x$ より、$x=-1$。このとき、$\left( \frac{x}{1+2x} \right)^n = 1$ であり、極限値は1。

$\frac{x}{1+2x} = -1$ となる$x$はない。

次に、極限値を求める。

$-1 < \frac{x}{1+2x} < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{x}{1+2x} \right)^n = 0$。

$\frac{x}{1+2x} = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{x}{1+2x} \right)^n = 1$。

したがって、数列が収束する条件は、$x \leq -1$ または $x > -\frac{1}{3}$ であり、極限値は、$x = -1$ のとき1、$x > -\frac{1}{3}$ かつ $x \neq -1$ のとき0である。

3. 最終的な答え

数列が収束する条件：$x \leq -1$ または $x > -\frac{1}{3}$

極限値：

- $x = -1$ のとき 1

- $x > -\frac{1}{3}$ かつ $x \neq -1$ のとき 0