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数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ について、次の3つの事柄が常に正しいかどうかを判定する問題です。正しくない場合は反例を挙げます。 (1) $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, \lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ であるとき、$\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$ か。 (2) $b_n < a_n < c_n, \lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = 0$ であるとき、$\{a_n\}$ は収束するか。 (3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0, \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ であるとき、$\lim_{n\to\infty} b_n = \alpha$ か。ただし、$\alpha$ は定数。

解析学数列極限収束はさみうちの原理
2025/6/12

1. 問題の内容

数列 {an},{bn},{cn}\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\} について、次の3つの事柄が常に正しいかどうかを判定する問題です。正しくない場合は反例を挙げます。
(1) lim⁡n→∞an=∞,lim⁡n→∞bn=∞\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, \lim_{n\to\infty} b_n = \infty であるとき、lim⁡n→∞(an−bn)=0\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0 か。
(2) bn<an<cn,lim⁡n→∞(cn−bn)=0b_n < a_n < c_n, \lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = 0 であるとき、{an}\{a_n\} は収束するか。
(3) lim⁡n→∞(an−bn)=0,lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0, \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha であるとき、lim⁡n→∞bn=α\lim_{n\to\infty} b_n = \alpha か。ただし、α\alpha は定数。

2. 解き方の手順

(1) lim⁡n→∞an=∞,lim⁡n→∞bn=∞\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, \lim_{n\to\infty} b_n = \infty であるとき、lim⁡n→∞(an−bn)=0\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0 かどうかを考えます。これは一般には成り立ちません。反例として an=n+1a_n = n+1, bn=nb_n = n とすると、lim⁡n→∞an=∞,lim⁡n→∞bn=∞\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, \lim_{n\to\infty} b_n = \infty ですが、an−bn=1a_n - b_n = 1 より、lim⁡n→∞(an−bn)=1≠0\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 1 \neq 0 となります。
(2) bn<an<cn,lim⁡n→∞(cn−bn)=0b_n < a_n < c_n, \lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = 0 であるとき、{an}\{a_n\} は収束するかどうかを考えます。
lim⁡n→∞(cn−bn)=0\lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = 0 より、任意の ϵ>0\epsilon > 0 に対して、ある NN が存在し、n>Nn > N ならば ∣cn−bn∣<ϵ|c_n - b_n| < \epsilon となります。つまり、bn<an<cnb_n < a_n < c_n であり、lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞cn\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n が成り立ちます。lim⁡n→∞bn=L\lim_{n \to \infty} b_n = L とすれば lim⁡n→∞cn=L\lim_{n \to \infty} c_n = Lとなり、はさみうちの原理より lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L が成り立つので、{an}\{a_n\} は収束します。
(3) lim⁡n→∞(an−bn)=0,lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0, \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha であるとき、lim⁡n→∞bn=α\lim_{n\to\infty} b_n = \alpha かどうかを考えます。lim⁡n→∞(an−bn)=0\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0 より、任意の ϵ>0\epsilon > 0 に対して、ある N1N_1 が存在し、n>N1n > N_1 ならば ∣an−bn∣<ϵ|a_n - b_n| < \epsilon となります。また、lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha より、任意の ϵ>0\epsilon > 0 に対して、ある N2N_2 が存在し、n>N2n > N_2 ならば ∣an−α∣<ϵ|a_n - \alpha| < \epsilon となります。N=max⁡{N1,N2}N = \max\{N_1, N_2\} とすると、n>Nn > N ならば ∣an−bn∣<ϵ|a_n - b_n| < \epsilon かつ ∣an−α∣<ϵ|a_n - \alpha| < \epsilon が成り立ちます。
bn=an−(an−bn)b_n = a_n - (a_n - b_n) より、
lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(an−(an−bn))=lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞(an−bn)=α−0=α\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} (a_n - (a_n - b_n)) = \lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = \alpha - 0 = \alpha
したがって、lim⁡n→∞bn=α\lim_{n\to\infty} b_n = \alpha が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。反例：an=n+1a_n = n+1, bn=nb_n = n
(2) 正しい。
(3) 正しい。

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