与えられた積分 $\int (x-1)(x^3+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x-1)(x^3+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$(x-1)(x^3+1) = x(x^3+1) - (x^3+1) = x^4 + x - x^3 - 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x^4 - x^3 + x - 1) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$

$\int -x^3 dx = -\frac{x^4}{4}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int -1 dx = -x$

したがって、全体の積分は次のようになります。

$\int (x^4 - x^3 + x - 1) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} - x + C$