与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = kx$ を解き、初期条件 $t=0$ のとき $x = x_0$ を満たす解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = kx$ を解き、初期条件 $t=0$ のとき $x = x_0$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 変数分離を行う:

$\frac{dx}{x} = k dt$

(2) 両辺を積分する:

$\int \frac{dx}{x} = \int k dt$

$\ln|x| = kt + C$ (ここで、$C$ は積分定数)

(3) 指数関数で表す:

$|x| = e^{kt+C} = e^{kt}e^C$

$x = \pm e^C e^{kt}$

$A = \pm e^C$ とおくと (新しい定数)、

$x = Ae^{kt}$

(4) 初期条件 $t=0$ のとき $x=x_0$ を代入する:

$x_0 = Ae^{k(0)} = A \cdot 1 = A$

よって、$A = x_0$

(5) $A$ を代入して、解を得る:

$x = x_0 e^{kt}$

3. 最終的な答え

$x = x_0 e^{kt}$