与えられた不定積分を計算する問題です。 $\int (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

$\int (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) = x(\frac{1}{x^3} + 1) - 1(\frac{1}{x^3} + 1) = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1$

したがって、

$\int (x-1) (\frac{1}{x^3} + 1) dx = \int (\frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx$

各項を積分します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

$\int 1 dx = x$

よって、

$\int (\frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} - (-\frac{1}{2x^2}) - x + C = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$