与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化します。$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ であるから、

$\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{\frac{2}{3}} dx$

次に、べき乗の積分ルール $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を適用します。ここで、$n = \frac{2}{3}$ です。

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$