与えられた積分を計算する問題です。積分は次の通りです。 $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は次の通りです。

$\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の分数を分解します。

$\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = \int (\frac{x^2}{x} + \frac{\sqrt{x^3}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}) dx$

次に、各項を簡略化します。

$\frac{x^2}{x} = x$

$\frac{\sqrt{x^3}}{x} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} = x^{\frac{3}{2}-1} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x + \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = \int (x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx$

次に、各項を積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_2 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_2$

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_3 = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_3$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 - C_3$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

つまり、

$\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + C$