次の定積分を求めます。 $\int_{-2}^{1} |x+1| dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$\int_{-2}^{1} |x+1| dx$

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x+1$ の符号が変化する点を調べます。

$x+1 = 0$ より、$x=-1$ です。

積分区間 $-2 \leq x \leq 1$ において、

$-2 \leq x \leq -1$ のとき、$x+1 \leq 0$ なので、$|x+1| = -(x+1)$

$-1 \leq x \leq 1$ のとき、$x+1 \geq 0$ なので、$|x+1| = x+1$

したがって、

$\int_{-2}^{1} |x+1| dx = \int_{-2}^{-1} -(x+1) dx + \int_{-1}^{1} (x+1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-2}^{-1} -(x+1) dx = \int_{-2}^{-1} (-x-1) dx = [-\frac{1}{2}x^2 - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{2}(-1)^2 - (-1)) - (-\frac{1}{2}(-2)^2 - (-2)) = (-\frac{1}{2} + 1) - (-2 + 2) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

$\int_{-1}^{1} (x+1) dx = [\frac{1}{2}x^2 + x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{2}(1)^2 + 1) - (\frac{1}{2}(-1)^2 + (-1)) = (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

よって、

$\int_{-2}^{1} |x+1| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$