$0 < x, y, z < \frac{\pi}{6}$ に対して、次の不等式を示す問題です。 $(\tan x \tan^4 y \tan z)^{1/6} \le \tan \left( \frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6} \right) \le \frac{\tan x}{6} + \frac{2\tan y}{3} + \frac{\tan z}{6}$

1. 問題の内容

$0 < x, y, z < \frac{\pi}{6}$ に対して、次の不等式を示す問題です。

$(\tan x \tan^4 y \tan z)^{1/6} \le \tan \left( \frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6} \right) \le \frac{\tan x}{6} + \frac{2\tan y}{3} + \frac{\tan z}{6}$

2. 解き方の手順

まず、左側の不等式を示します。

$f(t) = \log(\tan t)$ は $0 < t < \frac{\pi}{6}$ で上に凸な関数です。

これは、$f''(t) = -\frac{4}{\sin^2(2t)}$ であり、この範囲で負であることから分かります。

したがって、イェンセンの不等式より

$\frac{1}{6}f(x) + \frac{4}{6}f(y) + \frac{1}{6}f(z) \le f(\frac{1}{6}x + \frac{4}{6}y + \frac{1}{6}z)$

$\frac{1}{6}\log(\tan x) + \frac{4}{6}\log(\tan y) + \frac{1}{6}\log(\tan z) \le \log(\tan (\frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6}))$

$\log((\tan x \tan^4 y \tan z)^{1/6}) \le \log(\tan (\frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6}))$

$\therefore (\tan x \tan^4 y \tan z)^{1/6} \le \tan(\frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6})$

次に、右側の不等式を示します。

$\tan t$ は $0 < t < \frac{\pi}{6}$ で下に凸な関数です。

これは、$g(t)=\tan t$ とすると、$g''(t)=2\tan t \sec^2 t$ であり、この範囲で正であることから分かります。

したがって、イェンセンの不等式より

$\tan(\frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6}) = \tan(\frac{1}{6}x + \frac{4}{6}y + \frac{1}{6}z) \le \frac{1}{6}\tan x + \frac{4}{6}\tan y + \frac{1}{6}\tan z$

$\tan(\frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6}) \le \frac{\tan x}{6} + \frac{2\tan y}{3} + \frac{\tan z}{6}$

以上より、与えられた不等式が示されました。

3. 最終的な答え

$(\tan x \tan^4 y \tan z)^{1/6} \le \tan \left( \frac{x}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{z}{6} \right) \le \frac{\tan x}{6} + \frac{2\tan y}{3} + \frac{\tan z}{6}$