$\int \frac{x+7}{x^2-x-2} dx$ を計算します。

## 問題の解答

### (1) の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{x+7}{x^2-x-2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

したがって、被積分関数は

$\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}$

と書けます。

部分分数分解を行うために、

$\frac{x+7}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

と仮定します。両辺に $(x-2)(x+1)$ をかけると

$x+7 = A(x+1) + B(x-2)$

となります。

$x=2$ を代入すると $2+7 = A(2+1) + B(2-2)$ より $9 = 3A$, よって $A=3$。

$x=-1$ を代入すると $-1+7 = A(-1+1) + B(-1-2)$ より $6 = -3B$, よって $B=-2$。

したがって、

$\frac{x+7}{(x-2)(x+1)} = \frac{3}{x-2} - \frac{2}{x+1}$

となります。

よって、積分は

$\int \frac{x+7}{x^2-x-2} dx = \int \left( \frac{3}{x-2} - \frac{2}{x+1} \right) dx = 3 \int \frac{1}{x-2} dx - 2 \int \frac{1}{x+1} dx$

$= 3 \log |x-2| - 2 \log |x+1| + C$

$= \log |(x-2)^3| - \log |(x+1)^2| + C$

$= \log \left| \frac{(x-2)^3}{(x+1)^2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\log \left| \frac{(x-2)^3}{(x+1)^2} \right| + C$

### (2) の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{3x^2+x+10}{(x-2)(x^2+4)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{3x^2+x+10}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$

両辺に $(x-2)(x^2+4)$ をかけると

$3x^2+x+10 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x-2)$

$x=2$ を代入すると $3(2^2)+2+10 = A(2^2+4) + (B(2)+C)(2-2)$ より $12+2+10 = 8A$, よって $24=8A$, したがって $A=3$。

$3x^2+x+10 = 3(x^2+4) + (Bx+C)(x-2) = 3x^2+12 + Bx^2-2Bx+Cx-2C = (3+B)x^2 + (-2B+C)x + (12-2C)$

係数を比較すると、

$3 = 3+B$, $1 = -2B+C$, $10=12-2C$

$B=0$, $1=0+C$, $10=12-2C$

$B=0$, $C=1$, $2=2C$

$B=0$, $C=1$

よって、

$\frac{3x^2+x+10}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x^2+4}$

したがって、積分は

$\int \frac{3x^2+x+10}{(x-2)(x^2+4)} dx = \int \left( \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x^2+4} \right) dx = 3 \int \frac{1}{x-2} dx + \int \frac{1}{x^2+4} dx$

$= 3 \log |x-2| + \int \frac{1}{x^2+2^2} dx = 3 \log |x-2| + \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$3 \log |x-2| + \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$

### (3) の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数を次のように変形します。

$\frac{1}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} = \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x + \sec x \tan x$

したがって、

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx = \int \sec^2 x dx + \int \sec x \tan x dx = \tan x + \sec x + C$

3. 最終的な答え

$\tan x + \sec x + C$

### (4) の問題

1. 問題の内容

$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ および $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を用いて、

$\frac{1+\sin x}{1+\cos x} = \frac{1+2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$

したがって、

$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x} dx = \int \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} + \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = \tan \frac{x}{2} - 2 \log \left| \cos \frac{x}{2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} - 2 \log \left| \cos \frac{x}{2} \right| + C$