以下の4つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$ (3) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx$

はい、承知いたしました。画像にある4つの定積分を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

(3) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx$

$|1-x^2|$ は、$x = \pm 1$ で符号が変わります。

$-1 \leq x \leq 1$ では、$1-x^2 \geq 0$ なので、$|1-x^2| = 1-x^2$

$1 \leq x \leq 2$ では、$1-x^2 \leq 0$ なので、$|1-x^2| = x^2-1$

したがって、

$\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx = \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2-1) dx$

$= \left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} + \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{1}^{2}$

$= \left(1-\frac{1}{3}\right) - \left(-1+\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{8}{3}-2\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right)$

$= \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)$

$= \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

$= \frac{8}{3}$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

$u = \sin x + 1$ と置換すると、$du = \cos x dx$

$x=0$ のとき、$u = \sin 0 + 1 = 1$

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} + 1 = 1+1 = 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du$

$= \left[\ln |u|\right]_{1}^{2}$

$= \ln 2 - \ln 1$

$= \ln 2 - 0$

$= \ln 2$

(3) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx$

$u = 4-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$

$x=0$ のとき、$u = 4-0^2 = 4$

$x=\sqrt{3}$ のとき、$u = 4-(\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1$

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{4}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{2} du\right)$

$= -\frac{1}{2} \int_{4}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du$

$= -\frac{1}{2} \left[2u^{\frac{1}{2}}\right]_{4}^{1}$

$= - \left[\sqrt{u}\right]_{4}^{1}$

$= - (\sqrt{1} - \sqrt{4})$

$= - (1-2)$

$= 1$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx$

$u = e^x+1$ と置換すると、$du = e^x dx$

$x=0$ のとき、$u = e^0 + 1 = 1+1 = 2$

$x=1$ のとき、$u = e^1 + 1 = e+1$

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx = \int_{2}^{e+1} \frac{1}{\sqrt{u}} du$

$= \left[2\sqrt{u}\right]_{2}^{e+1}$

$= 2(\sqrt{e+1} - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{3}$

(2) $\ln 2$

(3) $1$

(4) $2(\sqrt{e+1} - \sqrt{2})$