$\lim_{x \to \infty} (x^5 - 3x^2 + x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (x^5 - 3x^2 + x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの多項式の極限を求める問題です。

多項式の極限では、最も次数の高い項が支配的になります。

まず、$x^5$ で式全体をくくり出します。

$\lim_{x \to \infty} (x^5 - 3x^2 + x) = \lim_{x \to \infty} x^5(1 - \frac{3x^2}{x^5} + \frac{x}{x^5})$

次に、括弧の中の分数を簡約します。

$\lim_{x \to \infty} x^5(1 - \frac{3}{x^3} + \frac{1}{x^4})$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x^3} \to 0$ および $\frac{1}{x^4} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} x^5(1 - \frac{3}{x^3} + \frac{1}{x^4}) = \lim_{x \to \infty} x^5(1 - 0 + 0) = \lim_{x \to \infty} x^5$

$x^5$ は $x$ が無限大に近づくにつれて無限大に発散します。

$\lim_{x \to \infty} x^5 = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$