関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta - \cos 2\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta - \cos 2\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$を$\sin\theta$で表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$であるから、

$y = 2\sqrt{3}\sin\theta - (1 - 2\sin^2\theta) = 2\sqrt{3}\sin\theta - 1 + 2\sin^2\theta$

$y = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta - 1$

次に、$\sin\theta = t$とおくと、$-1 \le t \le 1$であり、$y = 2t^2 + 2\sqrt{3}t - 1$となる。

$y$を平方完成すると、

$y = 2(t^2 + \sqrt{3}t) - 1 = 2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{3}{4} - 1 = 2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} - 1$

$y = 2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{5}{2}$

$-1 \le t \le 1$において、$y$の最大値と最小値を求める。

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$y = -\frac{5}{2}$ (最小値)

$t = 1$のとき、$y = 2 + 2\sqrt{3} - 1 = 1 + 2\sqrt{3}$ (最大値)

(i) $y$が最小値$-\frac{5}{2}$をとるとき、$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$である。$0 \le \theta \le 2\pi$において、$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$。

(ii) $y$が最大値$1 + 2\sqrt{3}$をとるとき、$\sin\theta = 1$である。$0 \le \theta \le 2\pi$において、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

最大値: $1+2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$)

最小値: $-\frac{5}{2}$ ($\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$)