問題は、関数 $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求めることです。

2. 解き方の手順

$y = x^{\frac{1}{x}}$ と置きます。両辺の自然対数を取ると、

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\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x

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両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律により $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。右辺は積の微分法を使います。

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\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \ln x \right) = \left( -\frac{1}{x^2} \right) \ln x + \frac{1}{x} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

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したがって、

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\frac{dy}{dx} = y \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}

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3. 最終的な答え

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\frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{x}} \right) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}

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